MMC e MDC: Como Escolher e Calcular sem Confundir

Por Bruno Rodrigues · Atualizado em 21 de julho de 2026

MMC e MDC respondem a perguntas diferentes. Se dois ônibus passam a cada 18 e 24 minutos, o MMC informa quando os horários voltarão a coincidir. Se uma placa de 96 por 72 cm será cortada em quadrados iguais, o MDC informa o maior lado possível desses quadrados.

Essa leitura do problema vem antes da conta. Depois de escolher entre múltiplos e divisores, você pode usar listas, fatoração em primos ou o algoritmo de Euclides.

Primeiro decida: o problema pede encontro ou divisão?

Os nomes ajudam, desde que sejam lidos por inteiro:

• mínimo múltiplo comum (MMC): o menor número positivo que aparece na sequência de múltiplos de todos os valores;
• máximo divisor comum (MDC): o maior número positivo que divide todos os valores sem deixar resto.

Uma pergunta prática costuma resolver a escolha:

• os ciclos precisam se encontrar novamente? Use MMC;
• as quantidades precisam ser repartidas igualmente, sem sobra? Use MDC.

Considere 12 e 18. Os múltiplos de 12 começam em 12, 24, 36 e 48; os de 18, em 18, 36 e 54. O primeiro encontro é 36, portanto MMC(12, 18) = 36. Já os divisores comuns são 1, 2, 3 e 6. O maior é 6, então MDC(12, 18) = 6.

Listar valores funciona bem com números pequenos. Quando os números crescem ou há três deles, a fatoração costuma ser mais curta.

Método da fatoração em números primos

Todo inteiro positivo maior que 1 pode ser escrito como produto de números primos. Vamos fatorar 84 e 126:

• 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7;
• 126 = 2 × 3 × 3 × 7 = 2 × 3² × 7.

Para montar o MMC, reúna todos os fatores encontrados e conserve o maior expoente de cada um:

MMC(84, 126) = 2² × 3² × 7 = 4 × 9 × 7 = 252

Para montar o MDC, mantenha apenas os fatores presentes nos dois números e escolha o menor expoente:

MDC(84, 126) = 2 × 3 × 7 = 42

Há duas verificações rápidas:

• 252 ÷ 84 = 3 e 252 ÷ 126 = 2, portanto 252 é múltiplo dos dois;
• 84 ÷ 42 = 2 e 126 ÷ 42 = 3, portanto 42 divide os dois.

Exemplo com três números

Fatore 18, 24 e 30:

• 18 = 2 × 3²;
• 24 = 2³ × 3;
• 30 = 2 × 3 × 5.

No MMC entram 2³, 3² e 5:

MMC(18, 24, 30) = 8 × 9 × 5 = 360

No MDC só entram os fatores que aparecem nos três. O 2 e o 3 são comuns, ambos com menor expoente igual a 1:

MDC(18, 24, 30) = 2 × 3 = 6

Se um fator faltar em apenas um dos números, ele já não participa do MDC. É o caso do 5, presente em 30, mas ausente em 18 e 24.

Algoritmo de Euclides: um caminho curto para o MDC

Fatorar não é a única opção. Para achar apenas o MDC de números maiores, faça divisões sucessivas e use os restos. O último resto diferente de zero é o MDC.

Para 252 e 198:

1. 252 = 198 × 1 + 54
2. 198 = 54 × 3 + 36
3. 54 = 36 × 1 + 18
4. 36 = 18 × 2 + 0

O último resto não nulo foi 18. Logo, MDC(252, 198) = 18.

Com o MDC em mãos, o MMC de dois números sai da relação:

MMC(a, b) = (a × b) ÷ MDC(a, b)

Assim, MMC(252, 198) = (252 × 198) ÷ 18 = 2.772.

Essa identidade vale para um par de inteiros positivos. Não multiplique três ou mais números e tente aplicar a mesma fórmula de uma só vez; combine os valores aos pares ou use a fatoração.

Três problemas resolvidos

1. Horários que voltam a coincidir

Duas linhas saem juntas às 7h. Uma parte a cada 18 minutos e outra a cada 24 minutos. Como a pergunta é sobre o próximo encontro dos ciclos, calcule:

MMC(18, 24) = 72

As duas voltam a sair juntas 72 minutos depois, às 8h12.

2. Maior quadrado sem desperdício

Uma placa de 96 por 72 cm será dividida em quadrados iguais, sem retalho. O lado do quadrado precisa dividir as duas dimensões:

MDC(96, 72) = 24

Cada quadrado pode ter 24 cm de lado. Cabem 96 ÷ 24 = 4 quadrados em uma direção e 72 ÷ 24 = 3 na outra, num total de 12 peças.

3. Soma de frações

Para somar 5/18 e 7/24, use o MMC dos denominadores:

MMC(18, 24) = 72

Então 5/18 = 20/72 e 7/24 = 21/72. A soma é:

20/72 + 21/72 = 41/72

O MDC entra depois, se houver simplificação. Como MDC(41, 72) = 1, a fração já está irredutível.

Como detectar um resultado errado

O erro mais frequente é multiplicar os números e parar. Para 12 e 18, o produto 216 é um múltiplo comum, mas não é o menor; 36 aparece antes. O produto só coincide com o MMC quando o MDC é 1, como acontece com 8 e 15.

Também vale testar a ordem de grandeza:

• o MMC não pode ser menor que o maior número informado, exceto em convenções que envolvam zero;
• o MDC não pode ser maior que o menor número;
• o MMC precisa ser divisível por todos;
• todos os números precisam ser divisíveis pelo MDC.

Nos exercícios escolares e na calculadora de MMC e MDC, trabalhe com inteiros positivos. A ferramenta é útil para conferir uma lista; o roteiro acima mostra como justificar o resultado no papel.